Analysis of Variance (ANOVA)

Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah varians antar kelompok atau disebut juga varians eksperimental. Varians ini menggambarkan adanya perbedaan antara kelompok-kelompok hasil pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena adanya perbedaan antara kelompokkelompok individu. Jika uji kesamaan dua rata-rata atau uji t digunakan untuk mencari perbedaan atau persamaan dua rata-rata, maka uji beberapa rata-rata digunakan untuk mencari perbedaan atau persamaaan beberapa rata-rata. Uji ini disebut dengan nama Analysis of Variance (ANOVA).

Teknik analisis statistik ini dikembangkan dan diperkenalkan pertama kali oleh Sir R. A Fisher. ANOVA dapat juga dipahami sebagai perluasan dari uji t sehingga penggunaannya tidak terbatas pada pengujian perbedaan dua buah rata-rata populasi, namun dapat juga untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata populasi atau lebih sekaligus.

ANOVA digunakan untuk menguji perbedaan antara sejumlah rata-rata populasi dengan cara membandingkan variansinya. Pembilang pada rumus variansi tidak lain adalah jumlah kuadrat skor simpangan dari rata-ratanya, yang secara sederhana dapat ditulis sebagai $\sum \left ( x_{1}\right - \mu)^{2}$ . Istilah jumlah kuadrat skor simpangan sering disebut jumlah kuadrat (sum of squares). Jika jumlah kuadrat tersebut dibagi dengan n atau maka akan diperoleh rata-rata kuadrat yang tidak lain dari variansi suatu distribusi. Rumus untuk menentukan varians sampel yaitu,

Pada prakteknya, uji t dapat juga digunakan untuk menguji beberapa rata-rata secara bertahap. Misalnya ada tiga rata-rata yaitu: I, II, dan III. Agar uji t dapat dipakai maka mula-mula dicari I dengan II, kemudian I dengan III, dan akhirnya II dengan III. Dengan demikian kita tiga kali menggunakan uji t. Namun, pengujian lebih tepat apabila menggunakan beberapa rata-rata. Hal tersebut di sebabkan :
1. setiap kali kita menggunakan uji t, maka akan terjadi kesalahan atau penyimpangan sebesar $(1 - a)^{2}$ , di mana a = 0,05sekian kali menggunakan uji t. Seandainya kita 3 kali menggunakan uji t,dengan ,maka akan terjadi kesalahan atau penyimpangan sebesar $(1 - 0,05)^{3} = 0,14$ atau jika a = 0,01 akan terjadi kesalahan sebesar $(1 - 0,01)^{3} = 0,999$ .
2. banyak uji t digunakan dengan rumus :

Seandainya ada empat rata-rata (n = 4), maka banyak uji t dilakukan adalah :

Alasan penggunaan ANOVA

Uji hipotesis dengan ANOVA digunakan, setidaknya karena beberapa alasan berikut:
1. Memudahkan analisa atas beberapa kelompok sampel yang berbeda dengan resiko kesalahan terkecil.
2. Mengetahui signifikansi perbedaan rata-rata (µ) antara kelompok sampel yang satu dengan yang lain. Bisa jadi, meskipun secara numeris bedanya besar, namun berdasarkan analisa ANOVA, perbedaan tersebut TIDAK SIGNIFIKAN sehingga perbedaan µ bisa diabaikan. Sebaliknya, bisa jadi secara numeris bedanya kecil, namun berdasarkan analisa ANOVA, perbedaan tersebut SIGNIFIKAN, sehingga minimal ada satu µ yang berbeda dan perbedaan µ antar kelompok sampel tidak boleh diabaikan.

Pada dasarnya ANOVA dibedakan menjadi dua bagian, yaitu ANOVA satu jalur (one way ANOVA) dan ANOVA dua jalur (two way ANOVA). Pada ANOVA satu jalur dibahas tentang ukuran sampel sama dan ukuran sampel tidak sama. sedangkan untuk ANOVA dua jalur, dibahas mengenai ANOVA tanpa interaksi serta ANOVA dengan interaksi.

ANOVA satu jalur

ANOVA satu jalur yaitu analisis yang melibatkan hanya satu peubah bebas. Secara rinci, ANOVA satu jalur digunakan dalam suatu penelitian yang memiliki ciri - ciri berikut:
1. Melibatkan hanya satu peubah bebas dengan dua kategori atau lebih yang dipilih dan ditentukan oleh peneliti secara tidak acak. Kategori yang dipilih disebut tidak acak karena peneliti tidak bermaksud menggeneralisasikan hasilnya ke kategori lain di luar yang diteliti pada peubah itu. Sebagai contoh, peubah jenis kelamin hanya terdiri atas dua ketgori (pria-wanita), atau peneliti hendak membandingkan keberhasilan antara Metode A, B, dan C dalam meningkatkan semangat belajar tanpa bermaksud menggeneralisasikan ke metode lain di luar ketiga metode tersebut.
2. Perbedaan antara kategori atau tingkatan pada peubah bebas dapat bersifat kualitatif atau kuantitatif.
3. Setiap subjek merupakan anggota dari hanya satu kelompok pada peubah bebas, dan dipilih secara acak dari populasi tertentu.

Tujuan dari uji ANOVA satu jalur adalah untuk membandingkan lebih dari dua rata-rata. Sedangkan gunanya untuk menguji kemampuan generalisasi. Maksudnya dari signifikansi hasil penelitian. Jika terbukti berbeda, berarti kedua sampel tersebut dapat digeneralisasikan (data sampel dianggap dapat mewakili populasi). ANOVA satu jalur dapat melihat perbandingan lebih dari dua kelompok data.

ANOVA pengembangan atau penjabaran lebih lanjut dari uji-t ( $t_{hitung}$ ). Uji-t atau uji-z hanya dapat melihat perbandingan dua kelompok data saja. Sedangkan ANOVA satu jalur lebih dari dua kelompok data. Contoh: Perbedaan prestasi belajar statistika antara mahasiswa tugas belajar ( $X_{1}$ ), izin belajar ( $X_{2}$ ) dan umum ( $X_{3}$ ). ANOVA lebih dikenal dengan uji-F (Fisher Test), sedangkan arti variasi atau varian itu asalnya dari pengertian konsep “Mean Square” atau kuadrat rerata (KR). Rumusnya:

Dimana: jk = jumlah kuadrat (some of square)
db = derajat bebas (degree of freedom)

Menghitung nilai ANOVA atau F ( $t_{hitung}$ ) dengan rumus:

Varian dalam group dapat juga disebut Varian Kesalahan (Varian Galat). Dapat dirumuskan:

Dimana: $\frac{\mathrm{(\sum X_t)^{2} } }{\mathrm{N}}$ = sebagai faktor koreksi
N = Jumlah keseluruhan sampel
A = Jumlah keseluruhan group sampel.

ANOVA dua jalur

ANOVA dua jalur yaitu pengujian ANOVA yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria. Setiap kriteria dalam pengujian ANOVA mempunyai level. Tujuan dan pengujian ANOVA dua jalur ini adalah untuk mengetahui apakah ada pengaruh dan berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil yang diinginkan. Misal, seorang guru menguji apakah ada pengaruh antara jenis media belajar yang digunakan pada tingkat penguasaan siswa terhadap materi.

Tujuan dari pengujian ANOVA dua jalur adalah untuk mengetahui apakah ada pengaruh dari berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil yang diinginkan. Dengan menggunakan teknik ANOVA dua jalur ini kita dapat membandingkan beberapa rata-rata yang berasal dari beberapa kategori atau kelompok untuk satu variable perlakuan.

Pengujian ANOVA dua jalur mempunyai beberapa asumsi diantaranya:

1. Populasi yang diuji berdistribusi normal,

2. Varians atau ragam dan populasi yang diuji sama,

3. Sampel tidak berhubungan satu dengan yang lain.

ANOVA dua jalur tanpa interaksi

Pengujian klasifikasi dua jalur tanpa nteraksi merupakan pengujian hipotesis tiga rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan interaksi antara kedua faktor tersebut dtiadakan.

Prosedur Pengujian Hipotesis

1. Perumusan Hipotesis

a. $H_{0}:a_{1} = a_{2} = a_{3} = ... = a_{i} = 0$ ;

$H_{0}:a_{1} \neq a_{2} \neq a_{3} \neq ... \neq a_{i} = 0$ ;
b. $H_{0}:\beta_{1} = \beta_{2} = \beta_{3} = ... = \beta_{i} = 0$ ;
$H_{0}:\beta_{1} \neq \beta_{2} \neq \beta_{3} \neq ... \neq \beta_{i} \neq 0$ ;

2. Menetapkan taraf nyata dan $F_{table}$
Derajat kebebasan dibagi menjadi dua, yaitu untuk baris dan kolom
Derajat kebebasan baris : $v_{1} = b -1$ dan $v_{2} = (k -1)(b - 1))$
Derajat kebebasan kolom : $v_{1} = k -1$ dan $v_{2} = (k -1)(b - 1))$
dengan :
b = Jumlah baris
k = Jumlah kolom

3. Menghitung nilai $F_{0}$
Untuk memudahkan menghitung nilai dari $F_{0}$ maka terlebih dahulu dibuat tabel ANOVA sebagai berikut.

Dimana
Jumlah kuadrat total

Jumlah Kuadrat Baris

Jumlah Kuadrat Kolom

Jumlah Kuadrat Error

4. Keputusan dan kesimpulan

Jika $F_{0}$ > $F_{table}$ maka $H_{0}$ ditolak.
Jika $F_{0}$ < $F_{table}$ maka $H_{0}$ diterima.

ANOVA dua jalur dengan interaksi

Pengujian klasifikasi dua jalur dengan interaksi merupakan pengujian beda tiga rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan pengaruh interaksi antara kedua faktor tersebut diperhitungkan. Pada dasarnya, pengujian hipotesis ANOVA dua jalur dengan interaksi sama seperti ANOVA dua jalur tanpa interaksi. yang berbeda hanya pada Tabel ANOVAnya. Berikut diberikan tabel ANOVA untuk ANOVA dua jalur dengan interaksi.