Langsung ke konten utama

Ukuran Pemusatan, Letak dan Sebaran DATA

Ukuran Pemusatan Data (Central Tendency)

Salah satu aspek yang paling penting untuk mengambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatann(tendensi sentral). setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai Ukuran tendensi sentral.Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu

1. Mean (rata - rata hitung/rata - rata aritmatika)

Rata - rata hitung atau Arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyak data. Definisi tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

Mean untuk Data Tunggal

Data tunggal adalah data yang belum dikelompokkan ke dalam kelas interval. Untuk mencari nilai mean data tunggal dapat diperoleh dengan menggunakan rumus:

Keterangan :
X̄  = Rataan dari suatu data
Xi  = Nilai data pertama
X2 = Nilai data keddua
X3 = Nilai data selanjutnya
Xn = Nilai data selanjutnya
  n  = Banyaknya data yang ada

Contoh soal
Dari hasil ulangan matematika kelas VI SD 03 Karangbolong yang terdiri dari 12 siswa diperoleh nilai 10,10,10,9,5,8,8,8,7,10,9,9. Tentukan nilai Mean nya!

Jawab :
Jadi, nilai Mean hasil ulangan matematika siswa kelas VI SD 03 Karangbolong adalah 8,58

Mean untuk Data Kelompok

Data kelompok adalah data yang sudah dikelompokkan kedalam kelas internval. Untuk mencari nilai Mean dari data kelompok dapat diperoleh dengan menggunakan rumus :
Keterangan :
 fi = Frekuensi
Xi = Nilai Tengah
Nilai tengah adalah jumlah nilai tepi atas dan tepi bawah dibagi 2 

Contoh soal
DIketahui suatu data sebagai berikut. Hitunglah nilai Meannya!
Untuk mencari Mean, terlebih dahulu kita harus mencari nilai tengahnya (Xi) terlebih dahulu kemudian dikalikan dengan frekuensi (fi).

2. Median

Median adalah nilai tengah dari sebuah data yang sudah di urutkan dari jumlah terkecil sampai terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat dicari menggunakan cara berikut.

Mean Data Tunggal

Median data tunggal yang dicari dari jumlah data yang jumlahnya ganjil dapat dicari menggunakan rumus berikut.
Median data tunggal yang dicari dari  jumlah data yang jumlahnya genap dapat dicari menggunakan rumus berikut.
Keterangan :
Me  = Median
n  = Jumlah data
x = Nilai data


Contoh soal
Dari 7 orang anak sedang menghitung pensil warna yang dipunyainya. Setelah dihitung jumlah pensil warna mereka adalah 3,8,5,7,6,4,4. Median dari jumlah pensil warna tersebut adalah?

Jawab :
Karena jumlah data ganjil, maka penghitungan median yang digunakan adalah cara penghitungan median data ganjil.


















Dari hasil penghitungan di atas, diperoleh bahwa ,edian adalah X4. Untuk Mengetahui letak X3, maka data harus diurutkan nilainya terlebih dahulu.
3,4,4,5,6,7,8 Berdasarkan hasil pengurutan maka median dari data di atas adalah 5.

Median Data Kelompok

Data kelompok adalah data yang sudah dikelompokkan ke dalam kelas interval. Untuk mencari nilai median dari data kelompok dapat diperoleh dengan menggunakan rumus seperti berikut.

Keterangan :
Me  = Median
xii     = Batas bawah median
n       = Jumlah data
fkii    = Frekuensi kumulatif data dibawah kelas median
fi       = Frekuensi data pada kelas median
p       = Panjang interval kelas

Contoh soal
Dari 26 siswa SDN 03 Karangjati dijadikan sampel dalam penelitian oleh Dinas Kesehatan. Siswa yang sudah dipilih kemudian di timbang berat badannya. Hasil timbangan berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti berikut.
Hitung median berat badan siswa yang dijadikan sampel!

Jawab
Untuk mencari nilai Median nya, terlebih dahulu yang harus dilakukan yaitu menghitung frekuensi kumulatif data. Penghitungan frekuensi kumulatif data dapat dilihat pada tabel berikut.
Jumlah data 26, sehingga mediannya terletak diantara data ke-13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini terletak pada kelas interval ke-4 (61-65). Kelas Interval ke-4 ini bisa disebut sebagai kelas median.
Melalui informasi kelas median, bisa diperoleh batas bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi kelas median sama dengan 5. Telah diketahui juga  bahwa panjang kelas yang dimiliki sepanjang 5.
Secara matematis dapat diringkas sebagai berikut.
xii = 60,5
n = 26
fkii = 9
fi = 5
p = 5
Dari nilai-nilai tersebut dapat dihitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.





Sehingga median berat badan siswa adalah 64,5 Kg.

3. Modus

Modus merupakan nilai data yang sering muncul. jika dalam suatu kelompok data memiliki memiliki lebih dari satu nilai data yang sering muncul, maka sekumpulan data tersebut memiliki banyak modus. Sekelompok data yang memiliki modus disebut bimodal, sedangkan sekelompok data yang memiliki lebih dari dua modus disebut multimodal. Modus biasanya dilambangkan dengan Mo.

 Contoh soal
Diketahui dalam 1 kelas terdapat 10 siswa. dari 10 siswa tersebut kemudian dijadikan sampel untuk diukur tinggi badannya. Berdasarkan hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan siswa 175,172,175,160,178,165,168,175,175,172. Tentukan modus dari rata tinggi badan siswa tersebut.

 Jawab
Untuk mencari Modus dari data seperti diatas tidak perlu menggunakan rumus apapun. Yang perlu dilakukan adalah menghitung nilai data yang sering muncul. Dan dari dari nilai data 175,172,175,160,178,165,168,175,175,172 yang sering muncul adalah angka 175

Ukuran Letak Data

Terdapat tiga ukuran Letak Data yang dapat digunakan, yaitu :

Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi empat bagian yang sama. Kuaritl dilambangkan dengan Q. Jenis kuartil terbagi menjadi tiga, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).

Kuartil untuk Data Tunggal

Keterangan :
Qi  = Kuartil ke - i
  n  = banyaknya data

Contoh soal
Tentukan Q1 , Q2 dan Q3 dari data : 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,2,6,9

Jawab
Data terurut : 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10
n = 17










Kuartil untuk Data Bergolong (Berkelompok)

Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok
Keterangan :
Qi  = Kuartil ke - i
Tb = Tepi bahwa kelas kuartil
 p   = Panjang kelas
 n   = Banyaknya data
 F   = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
 f    = Frekuensi kelas kuartil


Contoh soal
Tentukan Qi dari data berikut :




















Jawab
















Desil

Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluhan bagian sama besar. Desil sering dilambangkan dengan D. Jenisnya ada 6, yaitu D1 , D2 , D3, ….,…,…,D9.

Desil untuk Data Tunggal

Keterangan :
Di  = Desil ke - i
 n   = Banyaknya data

Contoh soal
Tentukan desil ke - 8 dari data : 6,3,8,9,5,9,9,7,5,7,4,5,8,3,7,6.

Jawab
n = 16
Data terurut = 3,3,4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9.









Desil untuk Data bergolongan (berkelompok)

Menentukan letak desil untuk data berkelompok
Keterangan :
Di  = Desil ke - i
Tb = Tepi bahwa kelas kuartil
 p  = Panjang kelas
 n  = banyak data
 F  = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
 f   = Frekuensi kelas kuartil

Contoh soal
Tentukan nilai D6 dari data berikut

Jawab 
Jadi, nilai D6 adalah 21,9

Persentil

Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi seratus bagian sama besar. Persentil sering dilambangkan dengan P. Jenis persentil ada 99, yaitu P1, P2, P3 … P99.

Persentil Data Tunggal

Keterangan
Pi = Persentil ke - i
n  = banyaknya data

Contoh soal
Tentukan persentil ke - 6 dari data : 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5.

Jawab
n = 15
data terurut : 4,4,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,9.
Jadi, nilai persentil ke - 65 adalah 7,4.

Persentil Data Bergolongan (Berkelompok)

Keterangan :
Pi  = persentil ke - i
Tb = tepi bahwa kelas persentil
 p  = panjang kelas
 n  = banyak data 
 F  = Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
 f   = Frekuensi kelas persentil

Contoh soal
Tentukan P30 dari data berikut

















Jawab







Ukuran penyebaran data (Measures of Dispresion)

Ukuran tendensi sentral (mean, median, modus) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi frekuensi, tetapi ukuran tersebut tidak memberikan gambran informasi yang lengkap mengenai bagaimana penyebaran data pengamatan terhadap nilai sentralnya. Terdapat beberapa ukuran untuk menentukan dispersi data pengamatan, seperti jangkauan/rentang (range), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan rata - rata (mean deviation), dan simpangan baku (standard deviation)

Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana adalah Range (Jangkauan / rentang / wilayah) Range dari suatu kelompok data pengamatan adalah selisih antara nilai minimum dan maksimum.
Range = nilai maksimum - minimum

Contoh soal
Berikut ini adalah nilai Quiz ke - 1 dan ke - 2 Matakuliah Statitsitik. Tentukan Range untuk masing - masing Quiz.

Quiz ke-1:
1
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Quiz ke-2:
2
3
4
5
6
14
15
16
17
18
19
Jawab
Quiz 1 : range = 20 - 1 = 19
Quiz 2 : range = 19 - 2 = 17

Kesimpulan
Quiz ke - 1 lebih bervariasi dibanding Quiz ke - 2 karena nilai range Quiz 1 > Quiz 2.

Simpangan kuartil (Quartile Deviation)

Simpangan kuartil didapatkan dengan cara menghitung nilai rata - rata dari kedua kuartil tersebut, Q1 dan Q3
Contoh soal
Tentukan nilai simpangan kuartil pada contoh soal Range

Jawab
Untuk menentukan nilai kuartilm terlebih dahulu sampel data harus diurutkan. Kebetulan pada contoh ini, data sudah terurut.
Selanjutnya tentukan letak dari kuartil tersebut dan terakhir tentukan nilai kuartilnya.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Quiz 1:
1
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Quiz 2:
2
3
4
5
6
14
15
16
17
18
19

n = 11




Quiz 1 : 
Letak Q1 = ¼ (11+1) = 3, sehingga nilai Q1 adalah data yang terletak di urutan ke - 3, yaitu 20
Letak Q2 = ¾ (11+1) = 9 sehingga nilai Q1 adalah data yang terletak pada urutan ke = 9, yaitu 20



Quiz 2 :
Letak Q1 = ¼ (11+1) = 3 sehingga nilai Q1 adalah data yang terletak pada urutan ke - 3, yaitu 5
Letak Q3 = ¾ (11+1) = 9 sehingga nilai Q3 adalah data yang terletak pada urutan ke - 3, yaitu 17






Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Chi Square

Pengujian dengan menggunakan Chi-Square diterapkan pada kasus dimana akan diuji apakah frekuensi data yang diamati (frekuensi/data observasi) sama atau tidak dengan frekuensi harapan atau frekuensi secara teoritis. Chi-Square disebut juga dengan Kai Kuadrat. Chi Square adalah salah satu jenis uji komparatif yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. Apabila dari 2 variabel, ada 1 variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus digunakan uji pada derajat yang terendah. Dalam pengujian Chi square, hal yang dapat diuji antara lain adalah uji independensi, uji Goodness of Fit, uji homogenitas, dan uji varians. Dalam buku ini, yang dibahas adalah mengenai uji independesi dan uji goodness of fit. Uji Goodness of Fit (kecocokan) adalah uji untuk menentukan apakah sebuah populasi mengikuti distribusi tertentu atau tidak. Misalnya, kita ingin mengetahui apakah populasi yang diamati berrdistribusi normal atau tidak...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Korelasi dan Regresi Linier Berganda

Menurut Abdurahman (2011), secara umum ada dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu bentuk hubungan dan keeratan hubungan. Analisis regresi digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antara dua variabel atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, atau untuk mengetahui bagaimana variasi dari beberapa variabel independen mempengaruhi variabel dependen dalam suatu fenomena yang kompleks. Jika adalah variabel-variabel independen dan Y adalah variabel dependen, maka terdapat hubungan fungsional antara dan , dimana variasi dari akan diiringi pula oleh variasi dari Y. Secara matematika hubungan di atas dapat dijabarkan sebagai berikut: , dimana Y adalah variabel dependen, adalah variabel independen dan e adalah variabel residu (disturbance term). Analisis regresi berganda merupakan perluasan dari analisis regresi linier sederhana. Dalam regresi linier sederhana, dibuat analisis hubungan dua variabel (satu variabel indepe...
Posting Komentar
Baca selengkapnya